Geometría Fractal

"Las formas dibujadas de la Tierra"

Desde los orígenes del nuestro planeta (hace unos cuatro mil quinientos millones de años), la emisión de de magma volcánico, el agua, el aire y el enfriamiento de la tierra caliente comenzaron a "dibujar" unas formas complejas, que fueron generadas por la repetición de simples mecanismos que llegaron a conformar una geometría en la que predomina la curva y la ramificación.

"que los árboles no son conos,
 que las montañas no son pirámides,
 que las líneas de costa no son rectas,
 que las nubes no son esferas..."

La Geometría Euclidiana, surge en nuestra humanidad por necesidad de organización, como se repasó esta semana en la exposición de Lucrecia y Manuel Mora, quienes explicaron que los egipcios, debido al desbordamiento del río Nilo debían realizar constantemente mediciones que contribuían a saber el límite entre los terrenos de los agricultores, razón por la cual no tenían "suficiente tiempo" para observar detenidamente cuáles eran las formas del mundo natural. De hecho, es importante, ver cómo este "universo" sustentado en líneas y curvas, se llegó a ver como único cuando se formalizó axiomáticamente esta primera geometría con el libro Elementos de Euclides.

Debido a los avances de la tecnología de nuestros tiempos (especialmente la computación), fue que el polaco Benoît Mandelbrojt (1924-2010) llegó a proponer una nueva geometría, llamada "Fractal", que describe mejor la complejidad de las formas naturales, ya que en los paisajes vemos cómo se van crean estructuras estadísticamente autosimilares, que cuando se observan a distinta escala se ven como si fuesen copias de sí mismas; es decir: El todo se parece a sus partes, contrario al postulado euclidiano: El todo es mayor que sus partes; lo cual la hace más atractiva en el sentido de que a diferencia de las Geometría Hiperbólica y Esférica, esta no surge de cuestionarse el V Postulado de Euclides, sino más bien de concebir las formas que nos rodean de una forma más detallada.

Sistema vascular de las plantas

Sin embargo, como antecedentes de la constitución de la Geometría Fractal, tenemos por testigos a los años 70's, en los que algunos matemáticos se encontraban con estos fractales, a los cuales llamaban "monstruos". Algunos de ellos fueron los siguientes:

• El Conjunto de Cantor: ideado por Georg Cantor en 1883, como un ejemplo de conjunto con una longitud aparente cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta, de longitud infinita. Para construirlo, se parte inicialmente de un segmento de longitud 1, el cual se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta, sin incluir los extremos, cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales, repitiendo infinitamente el proceso. Este conjunto me llamó la atención debido a que en el curso de Análisis estuvimos viendo algunas aspectos sobre él y el profesor nos explicó esta construcción; además, esto nos da una idea de que antes de que nos percatáramos de la Geometría Fractal en la naturaleza, la comenzamos a ver desde la Matemática formal que tenemos en la actualidad. Adjunto una imagen donde se muestra la construcción.

• Curva de Von Koch: fue diseñada por Helge von Koch en 1904, como ejemplo de una cura de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su construcción es similar a la del conjunto de Cantor, ya que se parte de de un segmento de longitud 1 que se divide en tres intervalos iguales; luego sobre el intervalo central se construye un triángulo equilátero y se elimina la base de dicho polígono. Seguidamente, sobre cada uno de los cuatro segmentos que se tienen la figura se repite el procedimiento anterior, y se hace infinitas veces.

Un aspecto interesante del surgimiento de esta Geometría Fractal, consiste en que desde los primeros hallazgos previos a su formalización, no había sido aceptada como tal por los matemáticos contemporáneos; por ejemplo, cuando en 1919 el alemán Félix Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones de estos "monstruos", el cual fue retomado por el ruso A.S. Besicovitch. A este método se le dio el nombre de dimensión Hausdorff-Besicovitch, también conocida como dimensión fraccional.

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

La pregunta que puede surgir ahora, es cómo le suscitó a Mandelbrojt el interés por estudiar dichos "monstruos". Bueno, esta parte se vincula con la Escuela Francesa de Bourbaki (1935) y un relato vinculado con la influencia familar, pues uno de los fundadores de dicha institución, Szolem Mandelbrojt, era el tío Benoît y le sugirió que estudiara el libro Memoria sobre la iteración de funciones racionales de Gastón Julia y Pierre Fatou. Dentro del trabajo de Julia y Fatou se hallan funciones con números complejos, que al iterar los resultados se obtenían resultados de los que se podía predecir el comportamiento o llegar al "caos"; como la siguiente función:

q_c: C®C, q_c(z) = zô + c ; con c Î C

Mandelbrojt comenzó a estudiar rigurosamente la obra antes citadas para encontrar cierto orden a la Teoría del Caos (la cual estudia operaciones que se repiten indefinidamente), llegando a producir en 1937 su primer libro de Geometría Fractal, denominado Objetos fractales, donde se explica que el nombre de "fractal" procede del acusativo latino "fractum", que remite a fragmentos irregulares pequeños que se obtienen como resultado de lanzar una piedra.

Benoît Mandelbrojt y su esposa Aliette en San Sebastián

Lo que me llamó la atención de la Geometría Fractal fue que esta predomina en la naturaleza, e inclusive en nuestro propio cuerpo; ya que Mandelbrojt, por ejemplo, publicó en 1967 un trabajo titulado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?, donde expone y demuestra que la medida de la longitud litoral de este territorio aumentaba al incrementar la escala del mapa y conforme se aumentaba se percibían más detalles de las líneas que describían esta costa, por lo cual llegó a concluir que estos objetos eran fractales, cuyas dimensiones oscilaban entre 1,15 y 2,25 (un aspecto interesante de los fractales es la medida de irregularidad, que indica que las dimensiones de un fractal corresponden a números reales entre 0 y 3, es decir que conforme esta medida va aumentado tiende a ser cada vez más tridimensional). Esta idea ha permitido  que esta geometría llegue a aplicarse en la topografía en la elaboración de los mapas.

Nuestro sistema respiratorio 

Referencias Bibliográficas

1. Casa de las  Ciencia  y Consorcio del Parque de las Ciencias. (2009). Fractales: ¿Qué? ¿Por qué? ¿Para qué? Una introducción al mundo de los fractales. España: Granada-Andalucía. Recuperado de http://www.parqueciencias.com/export/sites/default/comun/galerias/galeriaDescargas/educacion-formacion/Recursos/GuiasDidacticas/guiaFractales.pdf
2. Arce, G. C., Arguedas, S., Corrales, E., Romero, D., Salazar, M. E., Calderón, R. (2011). La Geometría Fractal. (Proyecto de investigación del curso Módulo III: Geometría No Euclideana). Universidad Nacional de Costa Rica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Escuela de Matemática.
3. Reyes, M. (s.f.). Fractales. Recuperado de http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionMadrid2009/fractales.pdf