Fibonacci

El número áureo y la sucesión de Fibonacci

Uno de los problemas matemáticos en los que se encuentra el número áureo, es en el propuesto por el matemático italiano Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci) que dice lo siguiente:

 «¿Cuántas parejas de conejos se obtienen a partir de una pareja inicial en el transcurso de un año?»

Liber abacci (1202)

Además, se establece lo siguiente:

1. Una pareja de conejos se reproduce inicialmente a los dos meses y engendra una nueva pareja.
2. A partir de una pareja se reproduce por primera vez, se vuelve a reproducir mensualmente, y cada vez engendra una nueva pareja.

Aquí sería necesario hacer un paréntesis, ya que vemos cómo la Matemática se ha planteado para resolver de la realidad y la vida cotidiana, como en este caso se ve implícito el caso de la crianza y reproducción de animales.

Volviendo al problema planteado por Fibonacci, vemos que el número de parejas para el mes n, (n número natural) está dado por una expresión Fn = F(n–2) + F(n–1); para F1  = 1 y F2 = 1;  donde la respuesta al problema inicial vendría dada por Fn , con n =12. A la sucesión anteriormente descrita se le llama "Sucesión de Fibonacci" y a cada uno de los números que se desprenden de esta se le denomina "número de Fibonacci"; de hecho, entre estos últimos y el número áureo (φ) existe una relación interesante, al calcular el siguiente límite:

Además, una de las razones por las cuales al número phi (φ) se le atribuye el nombre de "proporción perfecta o áurea" se basa en que se puede establecer la siguiente proporción, considerando un segmento como una unidad, de la siguiente manera:

De donde se obtiene la ecuación: x² + x – 1 = 0, cuya solución está dada por:

 

donde se puede obtener que:

Del procedimiento anterior, vemos cómo se puede justificar la obtención de un resultado que se empleaba desde la Antigüedad, empleando el rigor y conceptos matemáticos de nuestros días: recordemos que para la época en que se empleaba el "número de oro" en las construcciones, como en Grecia, que el arquitecto Fidias la usó para el diseño del Partenón, no existía el concepto de límite, aunque sí una idea de su existencia, al tratar de completar el área de círculos con figuras triangulares.

Por otro lado, una interpretación más geométrica la podemos ver de esta forma: dado un segmento AB, tal que A-B-C, entonces diremos que este segmento está dividido con base en el número de oro si d(A,C)/d(B,C) = d(A,B)/d(B,C) ≈ 1.618. Esta relación también se cumple para la pirámide de Cheops, pero a nivel de superficie, ya que en el libro El poder de las pirámides (1988), se indica que si Sb es la superficie de la base, Sl la superficie lateral y St la superficie total, entonces la relación Sb/Sl = Sl/St da el número áureo; además, se justifica la utiliza de dicha cifra en la construcción de la pirámide desde la historia del Antiguo Egipto, pues allí no se ha encontrado el cuerpo del faraón del que lleva el nombre esta edificación, debido a que este quería evitar una venganza de su pueblo, por lo cual se sospecha que su cadáver esté oculto en algún lugar subterráneo de la pirámide, pues se ha encontrado una barca funeraria que simbolizaba la partida del faraón al otro mundo... Con esta anécdota podemos ver que otras civilizaciones, además de la Griega, buscaban en este número la perfección; pero también que este concepto no es sólo empleado a nivel del plano (esto porque es sabido que en muchas obras de arte se emplea la posición áurea, y tengo entendido que esto les ayuda a fijar sobre algún elemento de su obra el punto de atención de esta), sino del espacio, aspecto que también podemos evidenciar en algunas formas de la naturaleza, como son las conchas.

Otro de los datos interesantes que encontré, justifica la representación anterior del "rectángulo áureo", pues  si tenemos un rectángulo (1 unidad) y lo recortamos un cuadrado sobre el borde de la primera figura, tendremos otro rectángulo de la misma forma, procedimiento que se repite sucesivamente hasta obtener la famosa figura.


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Hasch, A. (1988). La "divina proporción" del Número de Oro. El poder de la pirámides (pp. 28-34). Recuperado de http://books.google.co.cr/books?id=v7ceb_BlnXgC&pg=PA28&dq=el+poder+de+las+pir%C3%A1mides+y+numero+aureo&hl=es&sa=X&ei=93MzUbynFor28wTrrIGoAQ&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=el%20poder%20de%20las%20pir%C3%A1mides%20y%20numero%20aureo&f=false

Hernández, L. M. (2012). Sucesiones y la dimensión fractal. Recuperado de http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ARTICULOS_V12_N1_2011/M_Hernandez_V12N1_2011/M_Hernandez_V12N1_2011.pdf

Límites. (2009). Historia de los límites matemáticos. Recuperado de http://limitesdjdomatematicos.blogspot.com/2009/08/limites-matematicos_11.html