Algo acerca de la Historia de la Matemática en Costa Rica...

Aportes de José Liendo y Goicoechea (Cartago, 1735 - Guatemala, 1814)

"Y, a medida que aumentaba el círculo de los liberales y los abogados del conocimiento útil, y luego de la fundación de la Sociedad Patriótica, Goicoechea sobresale cada vez más como la figura relevante de la vida intelectual de la Guatemala colonial" (Lanning, citado por Ruiz, 1994, p. 23)

José Liendo y Goicoechea (1755-1814)

Este fraile costarricense, estudió Ciencias Exactas y Filosofía, e hizo grandes aportes a la Universidad de San Carlos, ubicada en Guatemala: enseñó Filosofía, Física y Matemática; además dirigió la reorganización de los estudios en dicho centro educativo, siendo el primer centroamericano en iniciar la docencia dentro del área filosófica.

Dentro de la reorganización que propuso, creó una Cátedra de Matemáticas, consideradas para él "necesarias para la física", donde se incorporaban temáticas de geometría, óptica, mecánica, astronomía y esfera.

Además, destaca por ser uno de las fundadores de la Sociedad Económica, la cual prestó importantes servicios a nuestro país. 

Él se preparó en España de 1765 a 1767, y a su regreso a Centroamérica, trajo instrumentos cartográficos (globos terráqueos, tablas de longitudes y longitudes, etc.) y científicos (aparatos y máquinas de física experimental).

Costa Rica en el siglo XIX

José María Castro Madriz

Durante este período se comienza a formar el Estado Nacional, así como las clases de liberales y conservadores. De igual manera, se dan las primeras incursiones en la explotación cafetalera.

De hecho, la educación costarricense va a representar uno de los principales medios para solidificar la identidad nacional y con ello, afianzar las relaciones entre las clases sociales, y por ello fue necesario impulsarla durante esta época. Algunas de estas reformas educativas fueron:

• Creación de una Escuela Normal, un Liceo para Niñas y una coordinación e inspección más eficientes en la educación primaria en 1849, por parte del gobierno de José María Castro Madriz.
• Decreto de la obligatoriedad de la educación para toda clase social en 1858, y para ambos sexos en 1862.
• En 1869, se incorpora en la Constitución Política la gratuidad, obligatoriedad y financiamiento estatal de la enseñanza primaria.

Comentario

Me parece interesante que en el periodo colonial de nuestro país, hubiera personas interesadas en el conocimiento de la Matemática, ya que es un episodio poco repasado en las clases de Estudios Sociales que recibimos durante nuestra educación de primaria y secundaria. Sólo que lastimosamente nuestro país no fue el beneficiado inmediato con los aportes de Liendo y Goicoechea, pues en esa época las universidades a las que tenían acceso los costarricenses se encontraban fuera de nuestras fronteras (San Carlos de Guatemala, León de Nicaragua, España), por lo que las ideas de lo que se concebía como "conocimiento" en esa época, y como lo hemos repasado en varios ocasiones en el curso, eran procedentes del mundo europeo de occidente.

Sin embargo, si contrastamos la historia de Liendo y Goicoechea, con la introducción del siglo XIX en nuestro país, vemos que las ideas e intereses de determinados grupos de poder siempre están presentes en la educación que recibimos: en este caso era el de difundir el modelo agroexportador cafetalero y buscar cuál grupo (conservadores o liberales) se quedaba al mando; pero, debemos pensar actualmente cuáles son los grupos que quieren imponernos sus ideas, que inclusive se pueden ver reflejadas en algo tan inocente como un currículo, porque allí se indica el tipo de ciudadano que se espera formar.

Con esta última idea, me gustaría referirme brevemente a los nuevos programas que avaló el Ministerio de Educación Pública [MEP] el año pasado, pues desde mi punto de vista me parece que actualmente se quieren profesionales (y esta creencia también la difunden los medios de comunicación masiva) que sepan computación, ingenierías y otras ramas que están vinculadas con la tecnologías, esto porque mucha de esta gente va a trabajar a empresas extranjeras donde se fabrican aparatos de esta índole, y entonces vale la pena preguntarse cuál es la nación que sale beneficiada con toda la actividad de producción: ¿Costa Rica? Además, esta posición la podría argumentar también en que la comisión que diseñó el nuevo currículo se basó en ideales extranjeros para definir las competencias y procesos matemáticos (PISA y NCTM). De hecho, en los informes de pronunciamiento de algunas instituciones como el ITCR (2011) y el CONARE (2012), se critica la descontextualización de estos programas y de cómo se tuvo que haber incluido la posición de todos los actores educativos para su formulación, empezando por el hecho de que no todos los docentes sabemos emplear la resolución de problemas, esto debido a la formación universitaria que hemos recibido, lo cual exigiría mucho trabajo y acompañamiento al educador por parte de las capacitaciones que se están brindando actualmente.

Ahora, me gustaría saber qué opina cada uno de ustedes. Saludos. 

Referencias

Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico Costarricense. (2011). Dictamen técnico de la propuesta de nuevos programas de matemática de primaria y secundaria. Documento facilitado por el Dr. Luis Gerardo Meza Cascante.

Programas de Estudio en Matemática. (2012). Recuperado de http://www.cimm.ucr.ac.cr/matematicas-programas/descargas/Programas_de_matematicas_2012.pdf

Ruiz Zúñiga, A. (1994). Antes de la reforma de Mauro Fernández. Historia de las Matemáticas en Costa Rica (pp. 23-24). Recuperado de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20de%20las%20matematicas%20en%20Costa%20Rica.pdf

Vargas, I., Chaves, L. y Rivera, Y. (2012). Informe del análisis del Programa de Estudios de Matemática Primero, Segundo y Tercer ciclo de la Educación General Básica y Ciclo Diversificado. Documento facilitado por el Dr. Luis Gerardo Meza Cascante.

Comentario de la sesión virtual del 12 de abril

Con respecto al aporte de la compañera Ana Arrieta en su blog

En relación con su comentario sobre ¿Qué es la Matemática? Me gustaría quedarme con la última idea que expone en su blog, donde remite a que esta disciplina "no fue creada por gente diferente o por máquinas, [sino] por personas de carne y hueso igual a cada uno de nosotros y por ende es una ciencia como cualquier otra"; pues social y culturalmente estamos dados a tener una "imagen" de cuáles son los parámetros o características que requiere una persona para ser o no un "buen matemático", las cuales muchas veces legitimamos con nuestros comentarios (que muchas veces pueden ser despectivos hacia nosotros mismos); razón por la cual creemos que no podemos realizar algo... Entonces la pregunta ahora sería: ¿Quién puede hacer Matemática?

¿Acaso sólo la pueden trabajar los matemáticos puros? ¿Los economistas? ¿Los informáticos? Hoy tengo del placer de decirles que: ¡Todos hacemos Matemática! No importa el nivel que sea, ni cuáles sean los "axiomas" que empleemos (aunque disten de lo que llamamos "formal"), pues todos tomamos decisiones en la vida en las que influyen los acontecimientos que nos rodean... Están en las fechas importantes que conmemoramos, en los años de vida que tenemos, en la cantidad de dinero que gastamos para venir a la universidad... En fin podría decir que está dentro de toda actividad que involucre al ser humano.

¿Qué es la Matemática?

Información de mi primera participación en el foro

A continuación les transcribo la opinión de la persona a la que le pregunte: ¿Qué es la Matemática para usted?

"Para mí la Matemática es importante con respecto a lo que considero lo básico, como es conocer los números, porque con ellos puedo ejecutar una serie de trámites en el campo de negocios: comprar, vender, saber los intereses de algún préstamo, ya que si no tuviera este mínimo conocimiento sería casi imposible vivir en el mundo. Sin embargo, la Matemática que se imparte en los colegios a mi parecer es sumamente complicada, ya que son complejas y difícil[es] de entender, y que de otras que he tenido la oportunidad de ver estudiando como son las universitarias, los que desconozco como pueden ser estas aplicadas en la vida, por lo tanto admiro realmente [a] las personas que estudian esta rama y no les cuesta tanto".

Y seguidamente les muestro mi opinión acerca de la Matemática con respecto a lo aportado en el foro 1 del curso MAB 503: Historia de la Matemática

"Para finalizar mi primera participación en este foro, quisiera comentar que mi posición respecto de lo que son las Matemáticas, empezaría describiéndolas como un lenguaje que permite organizar unos entes (dependiendo de la rama de la Matemática, ya que, por ejemplo, en la Geometría Euclidiana hablamos de puntos, rectas y otros), con el cual las personas tratamos de comprender el mundo; y de hecho, gracias a esta disciplina se han desarrollado otras áreas como la Física (que se citó en la conferencia leída para este foro). Además, es importante destacar la importancia de los símbolos dentro de este lenguaje matemático, pues esto le da un carácter más universal y de mayor comprensión a nivel mundial".

Percepción actual acerca de lo que son las Matemáticas

Personalmente considero que a nivel social, y a lo largo de la Historia, a las Matemáticas se le otorgado diversos significados; por ejemplo, como lo vimos en el capítulo de Grecia, vimos que los pitagóricos la consideraban como una religión; por otro lado, si volvemos atrás las páginas de la Historia, veremos que las civilizaciones más antiguas (Egipto y Babilonia, por ejemplo, que fueron las que hablamos mi compañera Rebeca y mi persona en la exposición de esta semana) la emplearon como una "herramienta" para resolver sus necesidades en cuanto a su organización social (distribución del terreno, agricultura), aunque también fue un medio importante para sus estudio astronómicos. En el vídeo de las Fronteras del Espacio, apreciamos cómo el amplio bagaje matemático de Descartes, le sirvió al célebre matemático para hacer alarde de sus cualidades, o para ganar "prestigio" como se vio implícitamente en la disputa generada entre Newton y Leibniz, para ver quién se quedaba con la "paternidad" del Cálculo. Inclusive hay autores, como Klimovsky e Hidalgo (1998), que comentan que la Matemática sirve para modelizar a la sociedad, es decir predecir ciertos comportamientos de los grupos humanos (lo ejemplican por medio de la medición estadística).

Finalmente, para muchos de los que tenemos que estudiar algo relacionado con Matemáticas, dependiendo del nivel educativo que cursemos, podemos verla como algo muy difícil (recientemente me ubico en esta categoría) o fácil.

Con todo esto, podríamos concluir que todos los elementos, conjuntos, axiomas, teoremas y otros que conforman la disciplina que conocemos como Matemática, y cuyo fin principal podría decirse que consiste en demostrar verdades; es posible considerarlos como parte de un lenguaje, con el cual se pretende transmitir la visión de mundo de una cultura, civilización y época; por lo cual se puede concluir que su lado humano en sí consiste en una búsqueda de cada quién en sí mismo, de su identidad, de la VERDAD; de ahí que cada quien le da su propio significado.

Referencia Bibliográfica:

Glimovsky, G. y Hidalgo, C. (1998). La inexpicable sociedad. Cuestiones de epistemología de las ciencias sociales. La medición en las ciencias sociales (pp. 237-242). Recuperado de http://www.luisenriquevazquez.com/22_klimovsky-g-e-hidalgo-h-1998-la-medicic3b3n-en-las-ciencias-sociales.pdf

Teorema de los cuatro colores

Comentario al material presentado en el blog "Historia de la Matemática"

En esta ocasión quisiera dar respuesta al reto que establece la compañera Rebeca como parte de su comentario del 25 de marzo, en relación con el hecho del problema que planteó el 23 de octubre de 1852 el estudiante Frederick Guthrie al célebre matemático De Morgan, para comunicarle un descubrimiento que su hermano mayor, Francis Guthrie (cartógrafo) había hecho; el cual se denomina inicial Conjetura de los cuatro colores; para la cual los hermanos Guthrie ofrecieron una prueba en la que de De Morgan halló un error, y por lo tanto el problema permaneció sin resolver durante varios años, hasta 1976 que Kenneth Appel y Wolfgang Haken; por medio de la teoría de grafos y un computador. Este último ingrediente hace que varios matemáticos, meramente puristas, cuestionen la validez de su demostración.

Una conclusión importante de esta historia, consiste en que vemos conforme avanza el tiempo se pueden resolver problemas de diferentes maneras, y por ello se debe procurar que el conocimiento científico-tecnológico sea en beneficio de la humanidad; desgraciadamente, también puede ser utilizado para mal: para decidir "quién tiene el poder sobre otros", especialmente a nivel político-económico.

Referencia Bibliográfica

García, J. (2011). El teorema de los cuatro colores. Recuperado de http://www.nemediano.com.mx/teoriaGrafos/data/cuatroColores.pdf

Reflexión para Semana Santa

SONETO A CRISTO CRUCIFICADO

(Autoría desconocida)

Cristo Sindónico 

(Obra de Juan Manuel Miñarro López, 2010)

No me mueve, mi Dios, para quererte 

el cielo que me tienes prometido, 

ni me mueve el infierno tan temido 

para dejar por eso de ofenderte.

Tú me mueves, Señor, muéveme el verte 

clavado en una cruz y escarnecido, 

muéveme ver tu cuerpo tan herido, 

muéveme tus afrentas y tu muerte.

Muéveme, en fin, tu amor, y en tal manera, 

que aunque no hubiera cielo, yo te amara, 

y aunque no hubiera infierno, te temiera.

No me tienes que dar porque te quiera, 

pues aunque lo que espero no esperara, 

lo mismo que te quiero te quisiera.

Geometría Fractal

"Las formas dibujadas de la Tierra"

Desde los orígenes del nuestro planeta (hace unos cuatro mil quinientos millones de años), la emisión de de magma volcánico, el agua, el aire y el enfriamiento de la tierra caliente comenzaron a "dibujar" unas formas complejas, que fueron generadas por la repetición de simples mecanismos que llegaron a conformar una geometría en la que predomina la curva y la ramificación.

"que los árboles no son conos,
 que las montañas no son pirámides,
 que las líneas de costa no son rectas,
 que las nubes no son esferas..."

La Geometría Euclidiana, surge en nuestra humanidad por necesidad de organización, como se repasó esta semana en la exposición de Lucrecia y Manuel Mora, quienes explicaron que los egipcios, debido al desbordamiento del río Nilo debían realizar constantemente mediciones que contribuían a saber el límite entre los terrenos de los agricultores, razón por la cual no tenían "suficiente tiempo" para observar detenidamente cuáles eran las formas del mundo natural. De hecho, es importante, ver cómo este "universo" sustentado en líneas y curvas, se llegó a ver como único cuando se formalizó axiomáticamente esta primera geometría con el libro Elementos de Euclides.

Debido a los avances de la tecnología de nuestros tiempos (especialmente la computación), fue que el polaco Benoît Mandelbrojt (1924-2010) llegó a proponer una nueva geometría, llamada "Fractal", que describe mejor la complejidad de las formas naturales, ya que en los paisajes vemos cómo se van crean estructuras estadísticamente autosimilares, que cuando se observan a distinta escala se ven como si fuesen copias de sí mismas; es decir: El todo se parece a sus partes, contrario al postulado euclidiano: El todo es mayor que sus partes; lo cual la hace más atractiva en el sentido de que a diferencia de las Geometría Hiperbólica y Esférica, esta no surge de cuestionarse el V Postulado de Euclides, sino más bien de concebir las formas que nos rodean de una forma más detallada.

Sistema vascular de las plantas

Sin embargo, como antecedentes de la constitución de la Geometría Fractal, tenemos por testigos a los años 70's, en los que algunos matemáticos se encontraban con estos fractales, a los cuales llamaban "monstruos". Algunos de ellos fueron los siguientes:

• El Conjunto de Cantor: ideado por Georg Cantor en 1883, como un ejemplo de conjunto con una longitud aparente cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta, de longitud infinita. Para construirlo, se parte inicialmente de un segmento de longitud 1, el cual se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta, sin incluir los extremos, cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales, repitiendo infinitamente el proceso. Este conjunto me llamó la atención debido a que en el curso de Análisis estuvimos viendo algunas aspectos sobre él y el profesor nos explicó esta construcción; además, esto nos da una idea de que antes de que nos percatáramos de la Geometría Fractal en la naturaleza, la comenzamos a ver desde la Matemática formal que tenemos en la actualidad. Adjunto una imagen donde se muestra la construcción.

• Curva de Von Koch: fue diseñada por Helge von Koch en 1904, como ejemplo de una cura de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su construcción es similar a la del conjunto de Cantor, ya que se parte de de un segmento de longitud 1 que se divide en tres intervalos iguales; luego sobre el intervalo central se construye un triángulo equilátero y se elimina la base de dicho polígono. Seguidamente, sobre cada uno de los cuatro segmentos que se tienen la figura se repite el procedimiento anterior, y se hace infinitas veces.

Un aspecto interesante del surgimiento de esta Geometría Fractal, consiste en que desde los primeros hallazgos previos a su formalización, no había sido aceptada como tal por los matemáticos contemporáneos; por ejemplo, cuando en 1919 el alemán Félix Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones de estos "monstruos", el cual fue retomado por el ruso A.S. Besicovitch. A este método se le dio el nombre de dimensión Hausdorff-Besicovitch, también conocida como dimensión fraccional.

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

La pregunta que puede surgir ahora, es cómo le suscitó a Mandelbrojt el interés por estudiar dichos "monstruos". Bueno, esta parte se vincula con la Escuela Francesa de Bourbaki (1935) y un relato vinculado con la influencia familar, pues uno de los fundadores de dicha institución, Szolem Mandelbrojt, era el tío Benoît y le sugirió que estudiara el libro Memoria sobre la iteración de funciones racionales de Gastón Julia y Pierre Fatou. Dentro del trabajo de Julia y Fatou se hallan funciones con números complejos, que al iterar los resultados se obtenían resultados de los que se podía predecir el comportamiento o llegar al "caos"; como la siguiente función:

q_c: C®C, q_c(z) = zô + c ; con c Î C

Mandelbrojt comenzó a estudiar rigurosamente la obra antes citadas para encontrar cierto orden a la Teoría del Caos (la cual estudia operaciones que se repiten indefinidamente), llegando a producir en 1937 su primer libro de Geometría Fractal, denominado Objetos fractales, donde se explica que el nombre de "fractal" procede del acusativo latino "fractum", que remite a fragmentos irregulares pequeños que se obtienen como resultado de lanzar una piedra.

Benoît Mandelbrojt y su esposa Aliette en San Sebastián

Lo que me llamó la atención de la Geometría Fractal fue que esta predomina en la naturaleza, e inclusive en nuestro propio cuerpo; ya que Mandelbrojt, por ejemplo, publicó en 1967 un trabajo titulado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?, donde expone y demuestra que la medida de la longitud litoral de este territorio aumentaba al incrementar la escala del mapa y conforme se aumentaba se percibían más detalles de las líneas que describían esta costa, por lo cual llegó a concluir que estos objetos eran fractales, cuyas dimensiones oscilaban entre 1,15 y 2,25 (un aspecto interesante de los fractales es la medida de irregularidad, que indica que las dimensiones de un fractal corresponden a números reales entre 0 y 3, es decir que conforme esta medida va aumentado tiende a ser cada vez más tridimensional). Esta idea ha permitido  que esta geometría llegue a aplicarse en la topografía en la elaboración de los mapas.

Nuestro sistema respiratorio 

Referencias Bibliográficas

1. Casa de las  Ciencia  y Consorcio del Parque de las Ciencias. (2009). Fractales: ¿Qué? ¿Por qué? ¿Para qué? Una introducción al mundo de los fractales. España: Granada-Andalucía. Recuperado de http://www.parqueciencias.com/export/sites/default/comun/galerias/galeriaDescargas/educacion-formacion/Recursos/GuiasDidacticas/guiaFractales.pdf
2. Arce, G. C., Arguedas, S., Corrales, E., Romero, D., Salazar, M. E., Calderón, R. (2011). La Geometría Fractal. (Proyecto de investigación del curso Módulo III: Geometría No Euclideana). Universidad Nacional de Costa Rica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Escuela de Matemática.
3. Reyes, M. (s.f.). Fractales. Recuperado de http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionMadrid2009/fractales.pdf

Diofanto de Alejandría

Esta semana en la lectura del capítulo del libro Historia de la Matemática de , titulado La Hegemonía Árabe, se mencionaba el nombre de Diofanto de Alejandría, como a uno de los personajes que se le ha atribuido el título de "padre del Álgebra", al igual que a Al-Khowarizmi. Pero: ¿Quién fue este personaje?

Diofanto (Diophantus) nació en la ciudad de Alejandría (ubicada en Egipto, dentro del continente africano), alrededor del año 200; y su vida es muy desconocida: algunos datos biográficos suyos proceden de la Antología Griega, compilada por Metrodorus alrededor del año 500 d.C.; donde procede la información de que Diofanto se casó a los 26 años y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, cuatro años antes de la suya, que fue a los 84 años (año 284).

Entre sus obras que han pasado a la posteridad, se encuentra la titulada Arithmetica, que originalmente era una colección de 13 libros, de los cuales sólo se conservan seis; que se caracterizan por contar con 189 ingeniosos problemas algebraicos resueltos, donde es el primero emplear símbolos para las incógnitas, para las potencias de símbolos y para las sumas y restas; a pesar de que estos sean muy rudimentarios, le sirvieron para escribir las primeras expresiones polinómicas. 

Aquí les explico algunos de ellos:

• Empleó el signo V' (llamado "aritmo") para la incógnita, debido a que era la única letra que quedaba libre de su alfabeto, ya que todas las demás designaban algún número.
• Para las potencias, el exponente siempre era el mismo (simbolizado por un u con una barra encima), y la base era la que indicaba el valor. En la siguiente tabla se resumen la potencia cuadrática y cúbica.

• Para la suma empleaba el m, mientras que para la resta el fm.

Referencias Bibliográficas

• Pérez García, M. A., (2009). Diofanto, Congruente.Una Historia de las Matemáticas: Retos y conquistas a través de sus personajes (pp. 215-214). Recuperado de http://books.google.co.cr/books?id=4YOfMzU5bCUC&pg=PA215&dq=Diofanto+congruente&hl=en&sa=X&ei=_TRFUeziHIi42QWbsYBw&ved=0CC0Q6AEwAA

• Ruiz, A. (s.f.). Diophanto de Alejandría. Recuperado de http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte1/Cap05/Parte07_05.htm#Diophanto

• Voyage Egipto. (s.f.). Alejandría, Cuidad de Egipto. Recuperado de http://www.voyagegypte.com/Home_fichiers/Alejandria_Egipto.htm

Comentario al aporte del blog de Lucrecia en relación con su aporte al capítulo 2

Me llama la atención cuando indica que “muchas veces somos más conscientes de la importancia de las cosas cuando sabemos de dónde vienen”, ya que a nivel educativo nos limitamos sólo a impartir contenidos (eximiendo a estos últimos de todo el desarrollo histórico que les precede) y a esperar productos, dejando a un lado muchas veces la idea de que el sujeto para quien va destinado los procesos de enseñanza –aprendizaje son los educandos; de hecho en relación a esto último me gustaría acotar (no sólo estudiante que sido desde primaria hasta la universidad, sino como ser humano) que gran parte de las “cosas” que valoro proceden de dos fuentes: (1) cuando siento la necesidad de informarme acerca de algo que es de mi interés; (2) por la dedicación y amor que ponen las personas que me hacen llegar un determinado conocimiento, más aún si se aprecia que estas están convencidas de lo que están diciendo, y se evidencia en sus obras. Esto lo comento porque me gustaría fortalecer estos aspectos en mis clases de Matemática, para captar la atención de los estudiantes.

Por otro lado, me parece importante destacar que la reminiscencia entorno al “trascurrir del tiempo” para la conformación del bagaje matemático con el que contamos actualmente, pues muchas veces como docentes pretendemos que los alumnos asimilen contenidos que, a muchas civilizaciones, se les llevó años descubrirlos e irlos depurando de acuerdo con sus contexto histórico; aunque, aquí también es importante destacar que, todos estos grupos culturales estudiados a lo largo de este segundo tema del curso, nos muestran valores como la perseverancia y la unidad, dos valores que están perdidos actualmente, debido a la incorporación de las culturas de muerte, donde prevalece el individualismo.

Multiplicación de los Hindúes

Esta semana quiero aportarles información acerca del método de Multiplicación Hindú, por medio de un ejemplo que encontré en el libro Matemáticas de la vida misma de Fernando Corbalán Yuste (la explicación que aporto procede de allí). La razón por la que quería hablar de ello es porque me pareció interesante la forma en que se puede conectar la distribución espacial (mediante diagramas o dibujos) para realizar estas operaciones; como lo vimos en las actividades que ofrecieron Ariana y Jonathan, pero para el caso de los mayas.

Multiplicación Hindú

Los antiguos hindúes multiplicaron empleando una cuadrícula con las casillas divididas por la mitad (trazando la diagonal de cada uno de los "cuadritos" que conformaban la cuadrícula). Esta cuadrícula constaba de tantas columnas como cifras m tuviera uno de los factores de la operación y de tantas filas como cifras n tenía el otro número. En la fila superior se distribuía por columna cada uno de los m dígitos de izquierda a derecha; mientras que al lado de la primera columna se escribían los dígitos n del otro multiplicador, distribuyendo las cifras de abajo hacia arriba. Además, siempre se coloca primero el número mayor, y luego el menor en la operación. Por ejemplo, si queríamos multiplicar 348 por 47, la cuadrícula podría quedar de la siguiente manera:

Ahora, en cada una de las casillas se va multiplicando el número que tiene a la par la fila por el que tiene la parte superior de la columna; por ejemplo en la primera celda, sería multiplicar 3 por 7, lo cual da 21. Este resultado lo anotamos escribiendo las decenas en el triángulo inferior de dicha celda y las unidades en el triángulo superior. De esta forma, tendríamos que que completar el cuadro de

Una vez que se tienen todos los productos, se suman diagonalmente, comenzando por el lado superior derecho, es decir por la diagonal que sólo tiene el 6, luego pasa a la que está conformada por 8, 5 y 2, y así sucesivamente. Aquí, también se llevan unidades cuando es necesario, por ejemplo, en la segunda columna, al sumar 8 + 5 + 2 = 15, entonces se lleva una unidad a la suma diagonal siguiente: 1 + 2 + 6 + 3 = 12 + 1 = 13 y se lleva una unidad a la diagonal que sigue...

El producto sería el número que se forma empezando por la fila inferior a la izquierda y acabando en el ángulo superior derecho, es decir siguiendo la ruta de las flechas azules que se muestra a continuación:

Así:

348 • 47 = 16 356

Quisiera culminar mi aporte parafraseando una de las interrogantes que establece el autor antes mencionado al final de una actividad, esperando que las personas que lean mi blog puedan intentar proporcionar una respuesta:

¿Existe alguna semejanza o parecido entre el sistema de multiplicar actual y el usado por los antiguos hindúes?

Referencia Bibliográfica

Corbalán Yuste, F. (FECHA). Multiplicación Hindú. Matemáticas de la vida misma (p. 70-71). Recuperado de http://books.google.co.cr/books?id=iBRyvNDDCdwC&pg=PA70&dq=multiplicaci%C3%B3n+de+los+hind%C3%BAes&hl=es&sa=X&ei=g2k9UanZLcbnqQHQx4HYBA&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

Los tres problemas clásicos de la Antigüedad Griega Clásica

Estos problemas fueron los siguientes:

• la construcción de un cuadrado igual en área a un círculo dado
• la construcción del lado de un cubo, cuyo volumen es el doble del un cubo de lado dado
• la trisección de cualquier ángulo

Algunas datos e ideas que me parecieron interesantes de estos problemas son los siguientes:

1. Su solución únicamente debía ser con regla y compás (Morales Guerrero, 2002), aunque según Ruiz Zúñiga (2003), esto trae “límites extraordinarios a las matemáticas de la Grecia Antigua”, debido a la existencia de una analogía entre la regla y el compás con la línea recta y el círculo (estas dos figuras tenían un papel privilegiado para esta civilización), respectivamente; aunque, aclara que la rigurosidad no fue la misma a lo largo de la evolución griega.
2. En relación con el problema de la cuadratura del círculo, las primeras evidencias del este se dieron hace mucho tiempo de que los griegos lo estudiaran dentro de la Geometría, ya que Morales Guerrero (2002), explica que en el papiro Rhind (perteneciente a los egipcios, como ya se vio anteriormente en el curso) el escriba Ahmes (S. II a.C.) da una regla para construir un cuadrado de área casi igual a la del círculo, y que consistía en cortar un noveno (1/9) del diámetro del círculo y construir el cuadrado con lo restante, con lo que se obtenía una buena aproximación para el número pi (π) de 3.1605; con lo cual se puede apreciar cómo históricamente se ha ido recogiendo el bagaje cognitivo de civilización en civilización, procurando "mejorar" lo que ya se sabe con base en los nuevos conocimientos y/o descubrimientos. De hecho, respecto a la duplicación del cubo y trisección del ángulo, Descartes buscó llevar estos problemas a ecuaciones (de tercer grado) y de esta manera darles solución de una forma más analítica, pues por ejemplo, este personaje halló la ecuación z³ = 3z – q para trisecar el ángulo; aunque, también propuso que de esta fórmula se podría extraer una raíz cúbica para duplicar el cubo (Álvarez y Martínez, 2000). 
3. La forma en que surgió el problema de la duplicación del cubo, ya que este está vinculado con las creencias de la civilización griega, ya que la historia cuenta que los habitantes de Delos acudieron al oráculo de Delfos para saber cómo detener la plaga que invadía su ciudad, el cual les respondió que debía doblar en volumen el altar de Apolo (este era en forma cúbica); no obstante, la originalidad de problemas acerca del tamaño y forma de altares aparece en las primeras manifestaciones de la literatura hindú, razón por la cual es probable que esta cultura influyera en la inclusión de problemas de esta magnitud entre los griegos. (Morales Guerrero, 2002).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Álvarez, C. y Martínez, R. (2000). Dos problemas clásicos: Trisección del ángulo y duplicación del cubo. Descartes y la ciencia del siglo XVII  (pp. 59-65). Recuperado de http://books.google.co.cr/books?id=VhqoP-4UZKUC&pg=PA59&dq=problema+de+la+triseccion+del+%C3%A1ngulo&hl=es&sa=X&ei=g7k1Ubj5F-Gq2QX6nYDACw&ved=0CDUQ6AEwAg#v=onepage&q&f=false

Morales Guerrero, L. (marzo, 2002). La cuadratura del círculo y otros problemas de Geometría. Ciencias (65). Recuperado de http://www.revistaciencias.unam.mx/images/stories/Articles/65/CNS06509.pdf

Ruiz, A. (2003). Los 3 problemas de la Antigüedad. El mundo griego presocrático. Recuperado de http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte1/Cap02/Parte03_02.htm

Fibonacci

El número áureo y la sucesión de Fibonacci

Uno de los problemas matemáticos en los que se encuentra el número áureo, es en el propuesto por el matemático italiano Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci) que dice lo siguiente:

 «¿Cuántas parejas de conejos se obtienen a partir de una pareja inicial en el transcurso de un año?»

Liber abacci (1202)

Además, se establece lo siguiente:

1. Una pareja de conejos se reproduce inicialmente a los dos meses y engendra una nueva pareja.
2. A partir de una pareja se reproduce por primera vez, se vuelve a reproducir mensualmente, y cada vez engendra una nueva pareja.

Aquí sería necesario hacer un paréntesis, ya que vemos cómo la Matemática se ha planteado para resolver de la realidad y la vida cotidiana, como en este caso se ve implícito el caso de la crianza y reproducción de animales.

Volviendo al problema planteado por Fibonacci, vemos que el número de parejas para el mes n, (n número natural) está dado por una expresión Fn = F(n–2) + F(n–1); para F1  = 1 y F2 = 1;  donde la respuesta al problema inicial vendría dada por Fn , con n =12. A la sucesión anteriormente descrita se le llama "Sucesión de Fibonacci" y a cada uno de los números que se desprenden de esta se le denomina "número de Fibonacci"; de hecho, entre estos últimos y el número áureo (φ) existe una relación interesante, al calcular el siguiente límite:

Además, una de las razones por las cuales al número phi (φ) se le atribuye el nombre de "proporción perfecta o áurea" se basa en que se puede establecer la siguiente proporción, considerando un segmento como una unidad, de la siguiente manera:

De donde se obtiene la ecuación: x² + x – 1 = 0, cuya solución está dada por:

 

donde se puede obtener que:

Del procedimiento anterior, vemos cómo se puede justificar la obtención de un resultado que se empleaba desde la Antigüedad, empleando el rigor y conceptos matemáticos de nuestros días: recordemos que para la época en que se empleaba el "número de oro" en las construcciones, como en Grecia, que el arquitecto Fidias la usó para el diseño del Partenón, no existía el concepto de límite, aunque sí una idea de su existencia, al tratar de completar el área de círculos con figuras triangulares.

Por otro lado, una interpretación más geométrica la podemos ver de esta forma: dado un segmento AB, tal que A-B-C, entonces diremos que este segmento está dividido con base en el número de oro si d(A,C)/d(B,C) = d(A,B)/d(B,C) ≈ 1.618. Esta relación también se cumple para la pirámide de Cheops, pero a nivel de superficie, ya que en el libro El poder de las pirámides (1988), se indica que si Sb es la superficie de la base, Sl la superficie lateral y St la superficie total, entonces la relación Sb/Sl = Sl/St da el número áureo; además, se justifica la utiliza de dicha cifra en la construcción de la pirámide desde la historia del Antiguo Egipto, pues allí no se ha encontrado el cuerpo del faraón del que lleva el nombre esta edificación, debido a que este quería evitar una venganza de su pueblo, por lo cual se sospecha que su cadáver esté oculto en algún lugar subterráneo de la pirámide, pues se ha encontrado una barca funeraria que simbolizaba la partida del faraón al otro mundo... Con esta anécdota podemos ver que otras civilizaciones, además de la Griega, buscaban en este número la perfección; pero también que este concepto no es sólo empleado a nivel del plano (esto porque es sabido que en muchas obras de arte se emplea la posición áurea, y tengo entendido que esto les ayuda a fijar sobre algún elemento de su obra el punto de atención de esta), sino del espacio, aspecto que también podemos evidenciar en algunas formas de la naturaleza, como son las conchas.

Otro de los datos interesantes que encontré, justifica la representación anterior del "rectángulo áureo", pues  si tenemos un rectángulo (1 unidad) y lo recortamos un cuadrado sobre el borde de la primera figura, tendremos otro rectángulo de la misma forma, procedimiento que se repite sucesivamente hasta obtener la famosa figura.


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Hasch, A. (1988). La "divina proporción" del Número de Oro. El poder de la pirámides (pp. 28-34). Recuperado de http://books.google.co.cr/books?id=v7ceb_BlnXgC&pg=PA28&dq=el+poder+de+las+pir%C3%A1mides+y+numero+aureo&hl=es&sa=X&ei=93MzUbynFor28wTrrIGoAQ&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=el%20poder%20de%20las%20pir%C3%A1mides%20y%20numero%20aureo&f=false

Hernández, L. M. (2012). Sucesiones y la dimensión fractal. Recuperado de http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ARTICULOS_V12_N1_2011/M_Hernandez_V12N1_2011/M_Hernandez_V12N1_2011.pdf

Límites. (2009). Historia de los límites matemáticos. Recuperado de http://limitesdjdomatematicos.blogspot.com/2009/08/limites-matematicos_11.html

Comentario al blog de "Encuentro con al Historia en Matemática"

Primero quería darle las gracias a Lucre por habilitarnos la dirección de su blog... Me parece excelente el uso de las imágenes que coloca posteriormente de sus aportes; ya que en el caso de su publicación del 18 de febrero de 2013, estos personajes dorados que vienen armando un rompecabezas, pueden significar el cómo tanto los profesores y educandos debemos ser partícipes dentro de un proceso de enseñanza y aprendizaje, y por ende, considero que los componentes históricos de Matemática introducidos y facilitados en una clase deben dirigir la explicación de la construcción de un conocimiento como un PROCESO, y no como un saber que ya está dado e incuestionable; pero a su vez, como una herramienta que permita la reflexión, donde comparemos el modo de vida que la época donde se "dio vida" a ese conocimiento y el actual, con el propósito de que no cometamos los mismos errores del pasado, y tengamos la mentalidad de mejorar nuestro entorno. De allí, podríamos deducir que una forma para introducir la Historia de la Matemática puede ser por medio de imágenes gráficas (esto apelando especialmente para aquellos jóvenes que aprenden visualmente).

Comentario a la conferencia "El valor histórico de las Matemáticas" dictada por el M. Sc Óscar Salas León y recopilada por la M. Sc Jesennia Chavarría Vásquez

Para comentar este artículo, comenzaría con la siguiente afirmación de la introducción:

Uno de los principales retos que se plantea la Política Educativa Nacional hacia el SXXI es el de "dotar a la ciudadanía de una formación en matemática sólida, moderna, amplia y de calidad que responda a las exigencias que el nuevo siglo y el contexto histórico presente demandan".

Ya que nos invita a reflexionar sobre varios aspectos, en relación con la Enseñanza de la Matemática en la actualidad:

Primero, que ya no vamos hacia el Siglo XXI, sino que estamos en él, como educadores debemos reflexionar sobre el tipo de Matemática que se ha dotado y hemos dotado (nosotros y nuestros colegas), a los estudiantes: ¿Realmente se han cumplido las expectativas que formulaba la Política Educativa Nacional hacia el Siglo XXI? ¿Cuáles son las limitaciones de este plan político? ¿Qué beneficios ha traído a la sociedad costarricense? ¿Qué ventajas le facilita a los educandos? ¿Esta política requerirá de un aggiornamento en la enseñanza-aprendizaje de esta disciplina, esto es, "ponerse al día"? Dejo estas interrogantes sin respuesta alguna, esperando que al final del curso pueda encontrarlas, a partir de lo que aprenda en este.

Segundo, debemos plantearnos cuáles son las exigencias del nuevo siglo y el contexto histórico que se demandan, y cuestionarnos quiénes son los que establecen dichas demandas; pues si analizamos un poco la situación de la Matemática en Costa Rica, vemos como existe la creencia generalizada de que "son difíciles", y de allí podríamos cuestionarnos quiénes son los que legitimamos este punto de vista serán acaso los padres de familia o encargados, las autoridades políticas, la sociedad, los estudiantes o inclusive los mismos "profes de Mate". Por otro lado, también queremos y demandamos saber si las matemáticas que enseñamos a las diferentes poblaciones estudiantiles les están permitiendo cuestionarse la realidad en la que viven y construir en un mundo mejor, planteando un estilo de vida óptimo; o si por el contrario, estamos formando personas que van a reproducir mecánicamente estos conocimientos, más dentro de una cultura educacional donde lo que importa es pasar un curso, porque lo necesitamos para seguir en otro, hasta llegar a tener un determinado título... porque si esto es así, como he escuchado muchas veces decir, apagaría las luces y me voy.

Tercero y último, con este párrafo el conferenciante nos permite ver implícitamente cuál ha sido y es el papel de la Matemática a lo largo de la Historia, donde ambas funcionan en planos que están interrelacionados entre sí (como se explica claramente en el documento leído para la 1° sesión virtual del curso MAB 503, que he comentado a mayor amplitud en mi primera participación de dicho foro); por lo cual podría otorgarse otro sentido al saber y quehacer matemático, uno que se convierte en una llave para entender porqué determinado concepto, axioma o teorema se interpretó de determinada manera en cierto momento histórico; pero sobre todo, que se convierta en una vía que despierte en los jóvenes diferentes valores e ideales, ya que muchas veces la Historia (como la de la Matemática), nos enseña que existen errores y que estos se pueden corregir (lo cual curiosamente es contradictorio con respecto a las estrategias de evaluación actuales, y por ende debería de reconsiderarse este punto de vista); pero que también nuestros pensamientos e ideas pueden cambiar muchas cosas, sólo basta que creamos en nosotros mismos y nos demos esa oportunidad... Creo que este debe ser el sentir que debe guiar la enseñanza de la Matemática, especialmente si acudimos a su componente histórico como recurso didáctico.

Diario Reflexivo: Semana del 11 al 15 de febrero

En primera instancia me gustaría referirme a las expectativas que tengo respecto del curso Historia de la Matemática (MAB 503). Inicialmente, me gustaría aprender a crear diferentes estrategias alternativas al método de enseñanza tradicional (conductista) para introducir la Historia como recurso didáctico en una clase de Matemática; pero, para ello, requiero también comprender y aprender cómo se fueron gestando los diferentes acontecimientos que fueron clave para el desarrollo de dicha disciplina (esto rememorando a la lectura asignada a la sesión virtual de esta semana), razón por la cual considero que debo prestarle bastante dedicación a lo que voy ejecutando en el curso. No obstante; entre los temas que aparecen dentro de la Carta al Estudiante, me captó más la atención el que corresponde a la Matemática en Costa Rica, pues es un tópico de poca difusión, que podría servir para que los estudiantes (universitarios que estamos en esta carrera y de secundaria) conozcan que en nuestro país también se produce Matemática, y pueda servirnos para identificarnos más con esta disciplina.

También, me llamó la atención la manera en cómo la profesora organizó el foro (es decir, su presentación), ya que la forma en que acomodó el texto y las figuras que aparecen allí lo convierten en un espacio agradable, al que uno le dan ganas de trabajar; además, el empleo de ilustraciones le proporciona a uno una idea acerca del qué consiste lo que se va tratar semana a semana, con lo cual se infiere el interés de la docente porque los estudiantes revisemos nuestros conocimientos previos sobre los diferentes tópicos. De igual manera, la inducción a la plataforma, que se efectúo durante la sesión del pasado lunes 11 de febrero, fue eficaz debido a que se revisó la manera en que se introducirían los diferentes archivos y comentarios en el foro y en los diarios reflexivos.

Luego, la creación del blog para este curso la efectué el pasado 12 de febrero, y dado que esta es mi primera experiencia en ello, se me dificultó un poco hacerlo, así que “traveseando” los diferentes menús que ofrece Blogger pude cumplir esta meta; espero ir complementando este sitio web con mis participaciones en los foros, los diarios reflexivos y comentarios y evaluaciones que haga de las lecturas asignadas en la semana.

Por otro lado, en relación con el programa del curso, si me hubiera gustado que a la hora de que este se discutiera en clase nos hubieran brindado a los compañeros el espacio para leer algunos de los puntos que contiene este documento, para fomentar la participación en clase e “ir deshaciendo el hielo”; aunque, sí rescato que la profesora sí aclaró bien lo que se fue leyendo, especialmente la forma en que se plantean las evaluaciones para el curso, las cuales sí llegan a ser comprensivas para el discente, en el sentido de que uno sabe qué es lo que se espera de nosotros en los diferentes trabajos.

Finalmente, espero la participación de los compañeros del curso en el foro y en blog para poder comentar sus trabajos y ver de qué manera puedo retroalimentar lo que he elaborado hasta el momento.

¡Bienvenid@s!
Este es mi blog para el curso de Historia de la Matemática.
En la configuración del blog he puesto que les lleguen notificaciones de las publicaciones que voy haciendo para que se estén actualizando, pero me gustaría que me indicaran a qué correo quieren que se las envíe (el que proporciona la universidad u otro de su preferencia), y me avisen si les llegó la notificación de esta primera publicación. Pueden comentar qué les parece la plantilla que escogí para el blog.
Saludos. Manuel Emilio Salazar Morales